Verifique que a série abaixo converge e calcule sua soma.
sumn=1^infty(3^n+2^n6^n)

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para verificar se a série converge e, se sim, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e como determinar a convergência delas. Vamos dividir a série em partes mais simples para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries diferentes. Isso ajuda a simplificar a análise. Então, temos:
sumn=1^infty(3^n+2^n6^n) = sumn=1^infty3^n6^n + sumn=1^infty2^n6^n

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada uma das frações. Lembre-se que sumn=1^infty(36)^n + sumn=1^infty(26)^n = sumn=1^infty(12)^n + sumn=1^infty(13)^n . Aplicando isso, temos:

Passo 4

Perfeito! Agora identificamos que cada uma dessas séries é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde é a razão comum entre os termos. Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto de deve ser menor que 1, ou seja, .

Passo 5

Vamos verificar a convergência de cada série:
  1. : Aqui, , e , então essa série converge.
  2. : Aqui, , e , então essa série também converge.

Passo 6

Como ambas as séries convergem, podemos calcular a soma delas individualmente e depois somar os resultados. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa em S = r1 - r é:
onde é a soma da série e é a razão comum.

Passo 7

Aplicando a fórmula para cada série:
  1. Para S1 = 121 - 12 = 1212 = 1 :
S2 = 131 - 13 = 1323 = 12
  1. Para :

Passo 8

Agora, somamos as duas somas obtidas:
S = S1 + S2 = 1 + 12 = 32 = 1,5

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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