Verifique que a série abaixo converge e calcule sua soma.
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para verificar se a série
converge e, se sim, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e como determinar a convergência delas. Vamos dividir a série em partes mais simples para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas séries diferentes. Isso ajuda a simplificar a análise. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada uma das frações. Lembre-se que
. Aplicando isso, temos:
Passo 4
Perfeito! Agora identificamos que cada uma dessas séries é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é a razão comum entre os termos. Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto de
deve ser menor que 1, ou seja,
.
Passo 5
Vamos verificar a convergência de cada série:
-
: Aqui, , e , então essa série converge. -
: Aqui, , e , então essa série também converge.
Passo 6
Como ambas as séries convergem, podemos calcular a soma delas individualmente e depois somar os resultados. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa em
é:
onde
é a soma da série e
é a razão comum.
Passo 7
Aplicando a fórmula para cada série:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Agora, somamos as duas somas obtidas:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.