Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
a_n = (e^2 + e^(-n)) / (e^n - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa sequência . A gente precisa descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, vamos achar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos no numerador e no denominador quando cresce.
No numerador, temos que é uma constante, e que tende a 0 conforme aumenta, já que e cresce muito rápido.
No denominador, temos . Aqui, cresce exponencialmente enquanto o é insignificante em comparação. Então, basicamente, o denominador também cresce muito rápido.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos dividir numerador e denominador por , que é a parte que mais cresce no denominador.
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada termo separado:
  • , que tende a 0 quando vai para infinito.
  • também tende a 0 conforme aumenta.
  • No denominador, tende a 1, já que tende a 0.
Então, a expressão simplificada torna-se:

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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