Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa sequência
. A gente precisa descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, vamos achar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos no numerador e no denominador quando
cresce.
No numerador, temos
que é uma constante, e
que tende a 0 conforme
aumenta, já que
e
cresce muito rápido.
No denominador, temos
. Aqui,
cresce exponencialmente enquanto o
é insignificante em comparação. Então, basicamente, o denominador também cresce muito rápido.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos dividir numerador e denominador por
, que é a parte que mais cresce no denominador.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada termo separado:
-
, que tende a 0 quando vai para infinito. -
também tende a 0 conforme aumenta. - No denominador,
tende a 1, já que tende a 0.
Então, a expressão simplificada torna-se:
Resposta
A sequência converge e o limite é 0.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
.
Calcule
, onde
é a metade inferior do círculo unitário
.
Verifique que a série abaixo converge e calcule sua soma.
Calcule a integral de linha
, em que
consiste:
(b) no segmento de reta que une os pontos e
.
(b) no segmento de reta que une os pontos