A integral representa a área de uma região do plano:
integral0^pi / 6[cos (theta)-sin (2 theta)] d theta
Calcule a área dessa região (integral).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que representa a área de uma região no plano. A gente tem a integral:
integral0^pi / 6[cos (theta)-sin (2 theta)] d theta
Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno e o seno duplo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades de integração das funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi / 6 cos (theta) d theta - integral0^pi / 6 sin (2 theta) d theta
Isso funciona porque a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 3

Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Começando pela primeira:
integral cos (theta) d theta
A integral de é .

Passo 4

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral sin (2 theta) d theta
Para integrar integral sin (k theta) d theta = -1k cos (k theta) + C , usamos a regra da substituição. Sabemos que:
integral sin (2 theta) d theta = -12 cos (2 theta) + C
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração sin (theta) g|0^pi / 6 = sin (pi6) - sin (0) = 12 - 0 = 12 em ambas as integrais:
Para a primeira integral:
-12 cos (2 theta) g|0^pi / 6 = -12 [cos (pi3) - cos (0)] = -12 [12 - 1] = -12 (-12) = 14
Para a segunda integral:

Passo 6

Agora, vamos juntar os resultados das duas integrais:
12 - 14 = 14

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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