A integral representa a área de uma região do plano:
Calcule a área dessa região (integral).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que representa a área de uma região no plano. A gente tem a integral:
Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno e o seno duplo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades de integração das funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a integral da soma é a soma das integrais.
Passo 3
Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Começando pela primeira:
A integral de é .
Passo 4
Agora, resolvemos a segunda integral:
Para integrar , usamos a regra da substituição. Sabemos que:
Aqui, , então:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração em ambas as integrais:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 6
Agora, vamos juntar os resultados das duas integrais: