Calcule integralC(5+x^3 y^2) d s, onde C é a metade inferior do círculo unitário x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC(5+x^3 y^2) d s, onde C é a metade inferior do círculo unitário x^2+y^2=1. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integrais de linha no plano. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho C e então integrar a função ao longo desse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o caminho C. Como C é a metade inferior do círculo unitário x^2 + y^2 = 1, isso significa que y vai de 0 até -1 e volta para 0 enquanto x varia de -1 a 1. Para parametrizar esse caminho, podemos usar a parametrização trigonométrica do círculo.

Passo 3

Vamos parametrizar o círculo usando um ângulo theta. No caso da metade inferior, theta vai de 0 a pi. As equações paramétricas ficam:
x(theta) = costheta
y(theta) = sintheta
Mas como estamos na metade inferior, precisamos ajustar os limites de theta. Na verdade, para a metade inferior do círculo unitário, theta varia de pi a 2pi.

Passo 4

Então, nossa parametrização fica:
x(theta) = costheta
y(theta) = sintheta
theta in [pi, 2pi]
Agora, precisamos calcular o elemento de arco diferencial ds. Sabemos que:
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 dtheta

Passo 5

Calculando as derivadas:
dxdtheta = -sintheta
dydtheta = costheta
Então,
ds = raiz(-sintheta)^2 + (costheta)^2 dtheta = raizsin^2theta + cos^2theta dtheta = raiz1 dtheta = dtheta

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral:
integralC(5 + x^3 y^2) d s = integralpi^2pi (5 + (costheta)^3 (sintheta)^2) dtheta

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integralpi^2pi 5, dtheta + integralpi^2pi cos^3theta sin^2theta , dtheta
Calculando a primeira integral:
5 integralpi^2pi dtheta = 5 [theta]pi^2pi = 5 (2pi - pi) = 5pi

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integralpi^2pi cos^3theta sin^2theta , dtheta
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar u = sintheta, então du = costheta dtheta.
Mas temos cos^3theta = cos^2theta cdot costheta = (1 - sin^2theta) costheta, então:
integral (1 - u^2) cos^2theta u^2 , ducostheta
Isso fica um pouco complicado, então uma abordagem mais simples é usar propriedades de simetria ou integrar diretamente.

Passo 9

Na verdade, percebemos que cos^3theta sin^2theta é uma função periódica com período 2pi, e na faixa de integração pi a 2pi, a integral dessa função específica resulta em zero devido à simetria das funções ímpares e pares. Portanto:
integralpi^2pi cos^3theta sin^2theta , dtheta = 0

Resposta

Somando as duas partes, temos:
5pi + 0 = 5pi
Então, a integral vale 5pi.

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