Calcule
, onde
é a metade inferior do círculo unitário
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a metade inferior do círculo unitário
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integrais de linha no plano. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho
e então integrar a função ao longo desse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o caminho
. Como
é a metade inferior do círculo unitário
, isso significa que
vai de
até
e volta para
enquanto
varia de
a
. Para parametrizar esse caminho, podemos usar a parametrização trigonométrica do círculo.
Passo 3
Vamos parametrizar o círculo usando um ângulo
. No caso da metade inferior,
vai de
a
. As equações paramétricas ficam:
Mas como estamos na metade inferior, precisamos ajustar os limites de
. Na verdade, para a metade inferior do círculo unitário,
varia de
a
.
Passo 4
Então, nossa parametrização fica:
Agora, precisamos calcular o elemento de arco diferencial
. Sabemos que:
Passo 5
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Calculando a primeira integral:
Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar
, então
.
Mas temos
, então:
Isso fica um pouco complicado, então uma abordagem mais simples é usar propriedades de simetria ou integrar diretamente.
Passo 9
Na verdade, percebemos que
é uma função periódica com período
, e na faixa de integração
a
, a integral dessa função específica resulta em zero devido à simetria das funções ímpares e pares. Portanto:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Então, a integral vale
.
Exercícios relacionados
A integral representa a área de uma região do plano:
Calcule a área dessa região (integral).
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover uma partícula do ponto
a
.
Calcule as integrais:
.
Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.