Calcule as integrais
a) integral 3 xx^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que pertencem ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Olhando para o denominador , percebemos que se fizermos , a derivada de em relação a será . Isso é útil porque temos um no numerador.

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos de . Sabemos que , então podemos rearranjar isso para .

Passo 4

Substituímos integral 3xx^2-4 dx = integral 3xu cdot du2x = integral 32u du e na integral original:
Os se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples: . Essa é uma integral básica que resulta no logaritmo natural.

Passo 6

Calculando a integral:
integral 32u du = 32 ln|u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos 32 ln|x^2-4| + C de volta para termos em :

Resposta

A integral é igual a .

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