Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos precisar decompor a fração racional que temos em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. Isso significa que vamos expressar essa fração como a soma de frações mais simples, cujos denominadores são os fatores do denominador original.
Então, suponhamos que:

Passo 3

Nosso objetivo agora é encontrar os valores de A, B e C que satisfazem essa igualdade. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos à direita:
Simplificando:

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais para todo y, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos A nas outras equações:

Passo 7

Agora, temos o sistema:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a primeira equação por 2:
Somando as duas equações:
Substituindo B na primeira equação:

Passo 8

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 10

As integrais de são logaritmos naturais:
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
(a)
(f)
(b)
(g)
©
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)