Calcule as integrais:
integral 4 y^2-7 y-12y(y-2)(y-3) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 4 y^2-7 y-12y(y-2)(y-3) d y. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos precisar decompor a fração racional que temos em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração 4 y^2-7 y-12y(y-2)(y-3) em frações parciais. Isso significa que vamos expressar essa fração como a soma de frações mais simples, cujos denominadores são os fatores do denominador original.
Então, suponhamos que:
4 y^2-7 y-12y(y-2)(y-3) = Ay + By-2 + Cy-3

Passo 3

Nosso objetivo agora é encontrar os valores de A, B e C que satisfazem essa igualdade. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por y(y-2)(y-3) para eliminar os denominadores:
4 y^2 - 7 y - 12 = A(y-2)(y-3) + B y (y-3) + C y (y-2)

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos à direita:
4 y^2 - 7 y - 12 = A(y^2 - 5 y + 6) + B(y^2 - 3 y) + C(y^2 - 2 y)
Simplificando:
4 y^2 - 7 y - 12 = (A + B + C) y^2 + (-5A - 3B - 2C) y + 6A

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais para todo y, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para y^2: A + B + C = 4
  2. Para y: -5A - 3B - 2C = -7
  3. Para o termo constante: 6A = -12

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da terceira equação:
6A = -12 Rightarrow A = -2
Agora, substituímos A nas outras equações:
  1. -2 + B + C = 4 Rightarrow B + C = 6
  2. -5(-2) - 3B - 2C = -7 Rightarrow 10 - 3B - 2C = -7 Rightarrow -3B - 2C = -17

Passo 7

Agora, temos o sistema:
  1. B + C = 6
  2. -3B - 2C = -17
Podemos resolver esse sistema multiplicando a primeira equação por 2:
  1. 2B + 2C = 12
  2. -3B - 2C = -17
Somando as duas equações:
(2B - 3B) + (2C - 2C) = 12 - 17 Rightarrow -B = -5 Rightarrow B = 5
Substituindo B na primeira equação:
5 + C = 6 Rightarrow C = 1

Passo 8

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
4 y^2-7 y-12y(y-2)(y-3) = -2y + 5y-2 + 1y-3

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( -2y + 5y-2 + 1y-3 ) d y = -2 integral 1y d y + 5 integral 1y-2 d y + integral 1y-3 d y

Passo 10

As integrais de 1y são logaritmos naturais:
-2 ln|y| + 5 ln|y-2| + ln|y-3| + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
-2 ln|y| + 5 ln|y-2| + ln|y-3| + C

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