Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos precisar decompor a fração racional que temos em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a fração
em frações parciais. Isso significa que vamos expressar essa fração como a soma de frações mais simples, cujos denominadores são os fatores do denominador original.
Então, suponhamos que:
Passo 3
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de A, B e C que satisfazem essa igualdade. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos à direita:
Simplificando:
Passo 5
Para que as duas expressões sejam iguais para todo y, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos A nas outras equações:
Passo 7
Agora, temos o sistema:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a primeira equação por 2:
Somando as duas equações:
Substituindo B na primeira equação:
Passo 8
Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 10
As integrais de
são logaritmos naturais:
onde C é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a:
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Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
(a)
(f)
(b)
(g)
©
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
(b)
(g)
©
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)