Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa fazer a decomposição em frações parciais da função
. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente no estudo de frações algébricas. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e depois escrever a fração como uma soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos supor que:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum
:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos lados esquerdo e direito da equação:
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
- Da primeira equação:
. - Substituímos
na segunda equação:
- Agora, substituímos
na equação :
Resposta
A decomposição em frações parciais da função é:
Ou simplificando: