Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
(x-6)/(x^2+x-6)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa fazer a decomposição em frações parciais da função . Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente no estudo de frações algébricas. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e depois escrever a fração como uma soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos supor que:
Aqui, e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum :
Agora, expandimos e agrupamos os termos:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos lados esquerdo e direito da equação:
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituímos na segunda equação:
  1. Agora, substituímos na equação :

Resposta

A decomposição em frações parciais da função é:
Ou simplificando:

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