(a) integral1^+infty 1x^5+3 x+1 d x
(f) integral0^a 1raizx(a-x) d x
(b) integral1^+infty cos 3 xx^3 d x
(g) integral0^+infty e^-s t d t
© integral1^+infty x^2+1x^3+1 d x
(h) integral0^+infty e^-s t t^2 d t
(d) integral0^+infty arctan xx^2+1 d x
(i) integral0^+infty e^-s t sen(a t) d t
(e) integral3^4 1raizx-3 d x
(j) integral0^+infty e^-s t cos (a t) d t

Passo 1

Resumo do Enunciado e Materia Envolvida
Vamos resolver o seguinte exercício:
integral1^+infty 1x^5 + 3x + 1 , dx
Esse é um integral impróprio, onde o limite superior é infinito. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar o Teste de Comparação da matéria de Cálculo Integral, que nos ajuda a determinar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).

Passo 2

Analisando o Comportamento da Função Integranda para x^5 + 3x + 1 approx x^5 para x muito grande Grande
Primeiro, observamos como a função 1x^5 + 3x + 1 approx 1x^5 se comporta quando tende para o infinito. Para isso, vamos simplificar o denominador:
Portanto, para grande, a função se aproxima de:

Passo 3

Escolhendo uma Função Comparativa para o Teste de Comparação
Vamos comparar nossa função com integral1^+infty 1x^p , dx , pois já sabemos como integrais desse tipo se comportam. Sabemos que:
converge se e diverge se .
No nosso caso, , que é maior que 1.

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação
Como integral1^+infty 1x^5 + 3x + 1 , dx para , e sabemos que converge, podemos concluir que:
também converge por comparação.

Resposta

A integral converge.

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