Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição em frações parciais! O problema pede para escrever a forma da decomposição da função . Para isso, vamos precisar entender sobre frações parciais, que é uma técnica usada para simplificar frações racionais em somas de frações mais simples. Vamos precisar também fatorar o denominador do nosso quebrado para facilitar a decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . Para decompor em frações parciais, é importante fatorar o denominador em produtos de polinômios de primeiro grau, se possível. Então, vamos tentar fatorar .

Passo 3

Para fatorar , procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Então, podemos reescrever o trinomio:
Portanto, o denominador fatorado é .

Passo 4

Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 5

Para encontrar os valores de e , vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :

Passo 6

Agora, vamos expandir e organizar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, podemos montar um sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, podemos expressar em função de :
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão de :

Passo 8

Com os valores de e encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Resposta

A decomposição em frações parciais da função dada é:

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Calcule as integrais:
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir: