Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição em frações parciais! O problema pede para escrever a forma da decomposição da função
. Para isso, vamos precisar entender sobre frações parciais, que é uma técnica usada para simplificar frações racionais em somas de frações mais simples. Vamos precisar também fatorar o denominador do nosso quebrado para facilitar a decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Para decompor em frações parciais, é importante fatorar o denominador em produtos de polinômios de primeiro grau, se possível. Então, vamos tentar fatorar
.
Passo 3
Para fatorar
, procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são
e
.
Então, podemos reescrever o trinomio:
Portanto, o denominador fatorado é
.
Passo 4
Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 5
Para encontrar os valores de
e
, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por
:
Passo 6
Agora, vamos expandir e organizar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, podemos montar um sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, podemos expressar
em função de
:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Resposta
A decomposição em frações parciais da função dada é:
Exercícios relacionados
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule as integrais:
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir: