Calcule as integrais.
integral0^1 integral0^x^2 integral0^1 x y z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral0^1 integral0^x^2 integral0^1 x y z , dz , dy , dx. Estamos lidando com integração múltipla, especificamente uma integral tripla. Para resolver isso, vamos integrar uma variável de cada vez, começando por z, depois y e por último x.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a z. A função a ser integrada é x y z, e os limites para z são de 0 a 1. Então, temos:
integral0^1 x y z , dz
Para integrar x y z em relação a z, tratamos x e y como constantes:
x y integral0^1 z , dz = x y [ z^22 ]0^1 = x y ( 12 - 0 ) = 12 x y

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y. O resultado anterior foi 12 x y, e os limites para y são de 0 a x^2. Então, temos:
integral0^x^2 12 x y , dy
Integrando 12 x y em relação a y:
12 x integral0^x^2 y , dy = 12 x [ y^22 ]0^x^2 = 12 x ( (x^2)^22 - 0 ) = 12 x cdot x^42 = 14 x^5

Passo 4

Por último, vamos integrar o resultado em relação a x. O resultado anterior foi 14 x^5, e os limites para x são de 0 a 1. Então, temos:
integral0^1 14 x^5 , dx
Integrando 14 x^5 em relação a x:
14 integral0^1 x^5 , dx = 14 [ x^66 ]0^1 = 14 ( 16 - 0 ) = 124

Resposta

O valor da integral tripla é 124.

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