Calcule as integrais. integral0^2 integral2^pi / 2 x sin y d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou outras grandezas em duas dimensões. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna x integral2^pi / 2 sin y , dy . Nesse caso, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . Então, podemos tirar de dentro da integral:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral de x [ -cos y ]2^pi / 2 = x ( -cos ( pi2 ) + cos(2) ) em relação a x cdot cos(2) . A integral de é . Então, substituindo os limites de integração:
Sabemos que , então simplificando:

Passo 4

Agora que temos a expressão da integral interna, nossa próxima etapa é integrar isso em relação a integral0^2 x cos(2) , dx , de 0 a 2:
cos(2) integral0^2 x , dx
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 5

Calculando a integral de integral x , dx = x^22 em relação a cos(2) [ (2)^22 - (0)^22 ] = cos(2) ( 42 - 0 ) = cos(2) cdot 2 , temos:
Aplicando os limites de 0 a 2:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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