Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e dois planos. Especificamente, o cilindro é definido por e os planos são e . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ótimas para calcular volumes de sólidos em três dimensões. Vamos precisar entender como configurar a integral tripla e escolher o sistema de coordenadas mais adequado.
Passo 2
Como temos um cilindro circular na equação , é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos () onde:
O cilindro se transforma em .
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para , e .
Para : Como o cilindro completa uma volta completa, varia de a .
Para : O raio do cilindro vai de a .
Para : O plano inferior é e o plano superior é . Em coordenadas cilíndricas, , então o plano superior fica . Portanto, varia de a .
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Assim, a integral fica: