Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. O sólido limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 9 e pelos planos y + z = 5 e z = 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e dois planos. Especificamente, o cilindro é definido por e os planos são e . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ótimas para calcular volumes de sólidos em três dimensões. Vamos precisar entender como configurar a integral tripla e escolher o sistema de coordenadas mais adequado.

Passo 2

Como temos um cilindro circular na equação , é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos ( ) onde:
O cilindro se transforma em .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para , e .
  • Para : Como o cilindro completa uma volta completa, varia de a .
  • Para : O raio do cilindro vai de a .
  • Para : O plano inferior é e o plano superior é . Em coordenadas cilíndricas, , então o plano superior fica . Portanto, varia de a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
  1. Integrar em relação a :
  2. Integrar em relação a :
    Calculando:
  3. Integrar em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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