Determine o volume do sólido dado. Limitado pelo cilíndro
e pelos planos
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e alguns planos no primeiro octante. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente integração para encontrar volumes. Vamos precisar usar coordenadas cartesianas e configurar uma integral tripla para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as fronteiras do sólido. O cilindro dado é
, que é um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo z. Os planos que limitam o sólido são
,
e
. Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas x, y e z são positivas.
Passo 3
Vamos desenhar uma imagem mental: o cilindro
forma uma superfície circular ao redor do eixo z. O plano
é o plano yz, e
é uma reta que corta o primeiro octante. O plano
é o plano xy, que é a base do sólido.
Passo 4
Para encontrar o volume, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Primeiro, precisamos determinar os limites de integração para x, y e z.
Passo 5
Vamos achar os limites para y. Observando o cilindro
e os planos
e
, resolvemos para encontrar os limites de y:
Quando
:
Quando
, substituímos na equação do cilindro:
Então, y varia de 0 a
.
Passo 6
Para cada y, x varia de 0 a
(definido pelo plano
).
Passo 7
Para cada x e y, z varia de 0 até a superfície do cilindro. A equação do cilindro
dá
ilimitado, mas como estamos no primeiro octante e limitado pelo plano
, z vai de 0 até o ponto onde o cilindro corta z, que aqui não há limite superior específico para z, então precisamos reconsiderar.
Na verdade, o cilindro é infinito ao longo de z, mas o sólido está limitado apenas pelo plano
. Isso significa que o sólido é um prisma sem altura definida, o que sugere que o volume pode ser considerado no plano xy, ou que há uma limitação adicional não mencionada. Para seguir, vamos supor que z não contribui para o volume, então estamos buscando a área na base.
Passo 8
Assim, a integral dupla para a área será:
Passo 9
Calculando a integral:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.