Determine o volume do sólido dado. Limitado pelo cilíndro y^2 + x^2 = 4 e pelos planos x = 2y, x = 0, z = 0 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e alguns planos no primeiro octante. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente integração para encontrar volumes. Vamos precisar usar coordenadas cartesianas e configurar uma integral tripla para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as fronteiras do sólido. O cilindro dado é , que é um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo z. Os planos que limitam o sólido são , e . Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas x, y e z são positivas.

Passo 3

Vamos desenhar uma imagem mental: o cilindro forma uma superfície circular ao redor do eixo z. O plano é o plano yz, e é uma reta que corta o primeiro octante. O plano é o plano xy, que é a base do sólido.

Passo 4

Para encontrar o volume, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Primeiro, precisamos determinar os limites de integração para x, y e z.

Passo 5

Vamos achar os limites para y. Observando o cilindro e os planos e , resolvemos para encontrar os limites de y:
Quando :
Quando , substituímos na equação do cilindro:
Então, y varia de 0 a .

Passo 6

Para cada y, x varia de 0 a (definido pelo plano ).

Passo 7

Para cada x e y, z varia de 0 até a superfície do cilindro. A equação do cilindro ilimitado, mas como estamos no primeiro octante e limitado pelo plano , z vai de 0 até o ponto onde o cilindro corta z, que aqui não há limite superior específico para z, então precisamos reconsiderar.
Na verdade, o cilindro é infinito ao longo de z, mas o sólido está limitado apenas pelo plano . Isso significa que o sólido é um prisma sem altura definida, o que sugere que o volume pode ser considerado no plano xy, ou que há uma limitação adicional não mencionada. Para seguir, vamos supor que z não contribui para o volume, então estamos buscando a área na base.

Passo 8

Assim, a integral dupla para a área será:
Á

Passo 9

Calculando a integral:
Á
Á
Á
Á
Á
Á

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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