Seja f(x)=sumn=1^+infty (-1)^n+1n 5^n x^n. Qual o domínio da função f ? D(f)=[-5,5]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma série infinita:
f(x) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n x^n
Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de a série converge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a identificar os valores de para os quais a série é convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
an = (-1)^n+1n cdot 5^n x^n
Agora, aplicamos o Teste da Razão, calculando o limite:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 3

Calculando o limite:
| an+1an | = | (-1)^(n+1)+1(n+1) cdot 5^n+1 x^n+1(-1)^n+1n cdot 5^n x^n | = | nn+1 cdot 15 cdot x | = nn+1 cdot |x|5
Tomando o limite quando L = limn to infty nn+1 cdot |x|5 = 1 cdot |x|5 = |x|5 tende ao infinito:

Passo 4

Segundo o Teste da Razão, a série converge se |x|5 < 1 implies |x| < 5 . Portanto:
Isso significa que a série converge para valores de tais que .

Passo 5

Agora, vamos verificar os extremos sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot 5^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1n e sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot (-5)^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1 cdot (-1)^nn = sumn=1^+infty 1n :
  • Para :
    A série se torna:
    Esta é a Série Alternada Harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada.
  • Para :
    A série se torna:
    Esta é a Série Harmônica, que não converge.

Resposta

O domínio da função é .

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