Calcule a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais exatas. Para resolvê-la, vamos precisar identificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que a torne exata. Se for exata, podemos encontrar uma função que satisfaça a equação; caso contrário, usaremos o fator integrante apropriado.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes das derivadas na equação:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de
, ou seja,
. Para isso, usamos a seguinte relação:
Como essa expressão não depende apenas de
, tentamos outra abordagem considerando a função do lado
:
Essa expressão depende apenas de
, então o fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Agora, a equação é exata.
Passo 5
Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial
cuja diferencial total seja igual à equação:
Integrando o primeiro termo em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda parte de
:
Comparando os termos, temos:
Integrando
em relação a
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: