Calcule a solução geral das seguintes equações: y^2 dx - (2xy + 3) dy = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais exatas. Para resolvê-la, vamos precisar identificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que a torne exata. Se for exata, podemos encontrar uma função que satisfaça a equação; caso contrário, usaremos o fator integrante apropriado.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes das derivadas na equação:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de y, ou seja, mu(y). Para isso, usamos a seguinte relação:
Como essa expressão não depende apenas de y, tentamos outra abordagem considerando a função do lado x:
Essa expressão depende apenas de y, então o fator integrante mu(y) é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando os termos:
Agora, a equação é exata.

Passo 5

Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial F(x, y) cuja diferencial total seja igual à equação:
Integrando o primeiro termo em relação a x:
Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos à segunda parte de :
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a y:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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