Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar trocar a ordem de integração e usar algumas propriedades de integrais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Originalmente, temos
variando de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a 1. É mais fácil trabalhar mudando a ordem dos limites de integração.
Passo 3
Ao trocar a ordem de integração,
passará a variar de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 a
. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, percebemos que
é uma expressão que não depende de
, então podemos tirá-la de dentro da integral em relação a
:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna, que é:
Fazendo uma substituição para facilitar: seja
, então
. Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, voltamos à integral principal substituindo o resultado da integral interna:
Passo 7
Calculamos a integral restante:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: