Calcule as integrais: integral0^1 integralx^1 1y sin y cos xy d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integral0^1 integralx^1 1y sin y cos xy , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar trocar a ordem de integração e usar algumas propriedades de integrais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Originalmente, temos variando de 0 a 1, e para cada , varia de a 1. É mais fácil trabalhar mudando a ordem dos limites de integração.

Passo 3

Ao trocar a ordem de integração, integral0^1 integral0^y 1y sin y cos xy , dx , dy passará a variar de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, percebemos que integral0^1 ( sin yy ) ( integral0^y cos xy , dx ) dy é uma expressão que não depende de , então podemos tirá-la de dentro da integral em relação a :

Passo 5

Vamos calcular a integral interna, que é:
integral0^y cos xy , dx
Fazendo uma substituição para facilitar: seja y integral0^1 cos t , dt = y [ sin t ]0^1 = y (sin 1 - 0) = y sin 1 , então . Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, voltamos à integral principal substituindo o resultado da integral interna:
integral0^1 ( sin yy ) (y sin 1) , dy = sin 1 integral0^1 sin y , dy

Passo 7

Calculamos a integral restante:
integral0^1 sin y , dy = [ -cos y ]0^1 = -cos 1 + cos 0 = 1 - cos 1

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
sin(1) cdot (1 - cos(1))

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