Determine os pontos do gráfico de mais próximo da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no gráfico da equação que estão mais próximos da origem (o ponto (0,0,0)). Para isso, vamos usar conceitos de otimização e geometria analítica. Vamos precisar minimizar a distância entre a origem e os pontos desse gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância de um ponto qualquer até a origem. A fórmula da distância é:
Mas, para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância:

Passo 3

Agora, temos que minimizar sujeita à restrição . Para resolver esse tipo de problema com restrições, usamos o método dos Multiplicadores de Lagrange.

Passo 4

Vamos montar a função de Lagrange:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 5

Agora, vamos achar as derivadas parciais de em relação a , , e , e igualá-las a zero:

Passo 6

Vamos resolver as primeiras três equações para encontrar relações entre , , e . A partir da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:

Passo 7

Igualando as expressões para :

Passo 8

Agora, substituímos e na equação de restrição:
Fatorando :
Assim, isolamos :

Passo 9

Com determinado, encontramos e :

Resposta

Os pontos do gráfico de mais próximos da origem são:

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