Determine os pontos do gráfico de
mais próximo da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no gráfico da equação
que estão mais próximos da origem (o ponto (0,0,0)). Para isso, vamos usar conceitos de otimização e geometria analítica. Vamos precisar minimizar a distância entre a origem e os pontos desse gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a distância de um ponto qualquer
até a origem. A fórmula da distância é:
Mas, para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância:
Passo 3
Agora, temos que minimizar
sujeita à restrição
. Para resolver esse tipo de problema com restrições, usamos o método dos Multiplicadores de Lagrange.
Passo 4
Vamos montar a função de Lagrange:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 5
Agora, vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
, e igualá-las a zero:
Passo 6
Vamos resolver as primeiras três equações para encontrar relações entre
,
, e
. A partir da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Passo 7
Igualando as expressões para
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na equação de restrição:
Fatorando
:
Assim, isolamos
:
Passo 9
Com
determinado, encontramos
e
:
Resposta
Os pontos do gráfico de
mais próximos da origem são:
Exercícios relacionados
Use, se possível, o Teorema da Condição Necessária para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Encontre a integral de superfície
, sendo
através do cilindro parabólico cuja parametrização é dada por
,
na direção
indicada na figura. Resp: 2
Calcule as integrais:
Suponha
. Se
, ache
.