Suponha nabla f = 2xyze^(x^2) i + ze^(x^2) j + ye^(x^2) k. Se f(0,0,0)=5, ache f(1,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o gradiente de uma função e um ponto específico onde vale 5. Nosso objetivo é descobrir o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre como encontrar a função original a partir do seu gradiente. Vamos precisar integrar as componentes do gradiente para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de , , é dado por:
No nosso caso:
Vamos integrar cada uma dessas expressões para encontrar .

Passo 3

Começamos integrando em relação a :
Para integrar , usamos substituição:
  • Seja , então
  • A integral fica:
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que , ou seja, não depende de :

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá , então é constante:

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos:
Para encontrar , usamos a condição inicial :
Portanto, a função completa é:

Resposta

Substituindo , e na função:
Então, .

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