Suponha
. Se
, ache
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o gradiente de uma função
e um ponto específico onde
vale 5. Nosso objetivo é descobrir o valor de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre como encontrar a função original a partir do seu gradiente. Vamos precisar integrar as componentes do gradiente para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de
,
, é dado por:
No nosso caso:
Vamos integrar cada uma dessas expressões para encontrar
.
Passo 3
Começamos integrando
em relação a
:
Para integrar
, usamos substituição:
- Seja
, então - A integral fica:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá
, então
é constante:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos:
Para encontrar
, usamos a condição inicial
:
Portanto, a função completa é:
Resposta
Substituindo
,
e
na função:
Então,
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
Determine os pontos do gráfico de
mais próximo da origem.
Seja
um retângulo que pode ser dividido em retângulos menores
, dois a dois com interiores disjuntos e cujos lados são paralelos aos lados de
. Além disso, cada
tem um lado cujo comprimento (
ou
) é igual a um número natural. Mostre que ou
ou
é um número natural. SUGESTÃO: Integre a função
sobre
e use a identidade
Determine o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações