Seja um retângulo que pode ser dividido em retângulos menores , dois a dois com interiores disjuntos e cujos lados são paralelos aos lados de . Além disso, cada tem um lado cujo comprimento ( ou ) é igual a um número natural. Mostre que ou ou é um número natural. SUGESTÃO: Integre a função sobre e use a identidade
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um retângulo no plano , que foi dividido em vários retângulos menores . Cada um desses retângulos menores tem lados paralelos aos lados de e, importante, pelo menos um dos lados de cada tem comprimento igual a um número natural. Nosso objetivo é mostrar que ou ou deve ser um número natural. Para isso, vamos utilizar cálculo integral e uma identidade trigonométrica dada na sugestão.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função sobre todo o retângulo . Sabemos que é a união dos retângulos menores , então podemos escrever:
Passo 3
Vamos calcular a integral sobre cada retângulo . A integral de sobre é:
Podemos resolver essa integral separadamente para e .
Passo 4
Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, multiplicamos isso pela função de :
Passo 5
Em seguida, integramos em relação a :
Então, a integral total sobre fica:
Passo 6
Utilizando a identidade trigonométrica sugerida:
Aplicamos isso às diferenças de cossenos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da integral sobre :
Simplificando:
Passo 8
Agora, lembrando que um dos lados de cada tem comprimento igual a um número natural. Vamos supor, sem perda de generalidade, que é natural para cada . Então, , onde é um número natural.
Isso implica que:
Porque o seno de múltiplos de é zero.
Passo 9
Portanto, cada termo na soma das integrais sobre será zero:
Assim, a integral total sobre também será zero:
Passo 10
Por outro lado, vamos calcular a integral diretamente sobre :
Integrando em relação a :
Multiplicando pela função de e integrando em relação a :
Simplificando:
Passo 11
Sabemos que a integral sobre deve ser igual a zero, conforme mostramos no Passo 9. Então:
Isso implica que pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Passo 12
Resolvendo as equações:
onde e são números inteiros.
Resposta
Portanto, concluímos que ou ou deve ser um número natural.