Seja R = [0, alpha] x [0, beta] subset R^2 um retângulo que pode ser dividido em retângulos menores {R1, R2, ..., Rn}, dois a dois com interiores disjuntos e cujos lados são paralelos aos lados de R. Além disso, cada Ri = [ai, bi] x [ci, di] tem um lado cujo comprimento ( b_i - a_i ou di - ci ) é igual a um número natural. Mostre que ou alpha ou beta é um número natural. SUGESTÃO: Integre a função f(x, y) = sen(2 pi x) sen(2 pi y) sobre R = união(R_i) para i = 1 até n e use a identidade cos(p) - cos(q) -2 * sen((p + q) / 2) * sen((p - q) / 2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um retângulo no plano , que foi dividido em vários retângulos menores . Cada um desses retângulos menores tem lados paralelos aos lados de e, importante, pelo menos um dos lados de cada tem comprimento igual a um número natural. Nosso objetivo é mostrar que ou ou deve ser um número natural. Para isso, vamos utilizar cálculo integral e uma identidade trigonométrica dada na sugestão.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função sobre todo o retângulo . Sabemos que é a união dos retângulos menores , então podemos escrever:

Passo 3

Vamos calcular a integral sobre cada retângulo . A integral de sobre é:
Podemos resolver essa integral separadamente para e .

Passo 4

Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, multiplicamos isso pela função de :

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a :
Então, a integral total sobre fica:

Passo 6

Utilizando a identidade trigonométrica sugerida:
Aplicamos isso às diferenças de cossenos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da integral sobre :
Simplificando:

Passo 8

Agora, lembrando que um dos lados de cada tem comprimento igual a um número natural. Vamos supor, sem perda de generalidade, que é natural para cada . Então, , onde é um número natural.
Isso implica que:
Porque o seno de múltiplos de é zero.

Passo 9

Portanto, cada termo na soma das integrais sobre será zero:
Assim, a integral total sobre também será zero:

Passo 10

Por outro lado, vamos calcular a integral diretamente sobre :
Integrando em relação a :
Multiplicando pela função de e integrando em relação a :
Simplificando:

Passo 11

Sabemos que a integral sobre deve ser igual a zero, conforme mostramos no Passo 9. Então:
Isso implica que pelo menos um dos fatores deve ser zero:

Passo 12

Resolvendo as equações:
onde e são números inteiros.

Resposta

Portanto, concluímos que ou ou deve ser um número natural.

Exercícios relacionados