Determine, mas não calcule, expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa, e © o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido limitado pelo paraboloide x = 4y^2 + 4z^2 e pelo plano x = 4 com função densidade rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano . A função densidade desse sólido é . A gente precisa determinar, sem calcular, três coisas usando integrais:
a) A massa do sólido,
b) O centro de massa,
c) O momento de inércia em relação ao eixo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo e física que relacionam a densidade com essas propriedades.

Passo 2

Vamos começar determinando a massa do sólido. A massa é dada pela integral da função densidade sobre o volume do sólido:
Substituindo a densidade, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o centro de massa do sólido. O centro de massa tem coordenadas que são dadas por:
Substituindo a densidade, as integrais ficam:

Passo 4

Por último, vamos determinar o momento de inércia em relação ao eixo . O momento de inércia é dado por:
Substituindo a densidade, a expressão fica:

Resposta

As expressões integrais para o exercício são:
a) Massa:
b) Centro de massa:
c) Momento de inércia em relação ao eixo :

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