Determine, mas não calcule, expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa, e © o momento de inércia em relação ao eixo
do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
com função densidade
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. A função densidade desse sólido é
. A gente precisa determinar, sem calcular, três coisas usando integrais:
a) A massa do sólido,
b) O centro de massa,
c) O momento de inércia em relação ao eixo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo e física que relacionam a densidade com essas propriedades.
a) A massa do sólido,
b) O centro de massa,
c) O momento de inércia em relação ao eixo
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo e física que relacionam a densidade com essas propriedades.
Passo 2
Vamos começar determinando a massa do sólido. A massa
é dada pela integral da função densidade sobre o volume
do sólido:
Substituindo a densidade, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o centro de massa do sólido. O centro de massa tem coordenadas
que são dadas por:
Substituindo a densidade, as integrais ficam:
Passo 4
Por último, vamos determinar o momento de inércia em relação ao eixo
. O momento de inércia
é dado por:
Substituindo a densidade, a expressão fica:
Resposta
As expressões integrais para o exercício são:
a) Massa:
b) Centro de massa:
c) Momento de inércia em relação ao eixo
:
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e pela curva
.
Calcule a integral tripla exatamente:
Calcule as integrais:
Determine
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e
.