Calcule as integrais.
integral0^pi / 2 sen^7 y d y

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de de 0 a . Esse exercício faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da integração de potências ímpares de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de redução de integrais de potências ímpares de seno.

Passo 2

Primeiro, observamos que a potência de seno é ímpar (7). Para integrar potências ímpares de seno, podemos usar a identidade trigonométrica .

Passo 3

Aplicamos a identidade para reescrever a integral:
integral sin^7 y , dy = integral sin^6 y cdot sin y , dy

Passo 4

Agora, usamos a identidade sin^6 y = (sin^2 y)^3 = (1 - cos^2 y)^3 para expressar em termos de :

Passo 5

Substituímos na integral:
integral (1 - cos^2 y)^3 cdot sin y , dy

Passo 6

Fazemos a substituição: integral (1 - u^2)^3 cdot (-du) = -integral (1 - u^2)^3 , du , então . Isso simplifica a integral:

Passo 7

Invertendo os limites de integração devido ao sinal negativo:
integral0^pi2 sin^7 y , dy = integral1^0 (1 - u^2)^3 , du = integral0^1 (1 - u^2)^3 , du

Passo 8

Expandimos (1 - u^2)^3 = 1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6 utilizando a fórmula do binômio de Newton:

Passo 9

Integramos termo a termo:
integral0^1 (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) , du = [ u - u^3 + 35 u^5 - 17 u^7 ]0^1

Passo 10

Avaliaremos nos limites:
(1 - 1 + 35 - 17) - (0 - 0 + 0 - 0) = 35 - 17 = 21 - 535 = 1635

Resposta

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