Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Isso envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração para funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e frações parciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a integral usando a substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Perceba que na nossa integral temos no denominador, então vamos reorganizar para expressar em termos de :

Passo 3

Agora, substituímos e na integral original. A integral fica:
No entanto, ainda temos um no denominador que precisamos expressar em termos de . Da substituição inicial:
Mas isso complica a substituição. Portanto, vamos optar por frações parciais para decompô-la em termos mais simples.

Passo 4

Vamos escrever a função racional como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação. Isso nos dará um sistema de equações para resolver e .

Passo 6

Após expandir e comparar os coeficientes, resolvemos o sistema e encontramos:
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral:
  1. é um pouco mais complicado, mas usando a fórmula de integração para , obtemos:
Simplificando:

Passo 8

Agora, juntando todas as integrais, temos:
Simplificando os termos com :

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1 na expressão obtida:
Calculamos cada termo no limite superior e inferior:
Para :
Para :
No entanto, notamos que a integral é impropria no limite inferior, mas ela é convergente.

Resposta

Após calcular, a integral definida de a de é:

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