Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a 1. Isso envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração para funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e frações parciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a integral usando a substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Perceba que na nossa integral temos
no denominador, então vamos reorganizar para expressar
em termos de
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original. A integral fica:
No entanto, ainda temos um
no denominador que precisamos expressar em termos de
. Da substituição inicial:
Mas isso complica a substituição. Portanto, vamos optar por frações parciais para decompô-la em termos mais simples.
Passo 4
Vamos escrever a função racional como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação. Isso nos dará um sistema de equações para resolver
e
.
Passo 6
Após expandir e comparar os coeficientes, resolvemos o sistema e encontramos:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral:
-
-
-
é um pouco mais complicado, mas usando a fórmula de integração para , obtemos:
Simplificando:
Passo 8
Agora, juntando todas as integrais, temos:
Simplificando os termos com
:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1 na expressão obtida:
Calculamos cada termo no limite superior e inferior:
Para
:
Para
:
No entanto, notamos que a integral é impropria no limite inferior, mas ela é convergente.
Resposta
Após calcular, a integral definida de
a
de
é:
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