Calcule e verifique sua resposta por derivação.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Para isso, vamos utilizar as regras básicas de integração, que nos permitem integrar funções exponenciais e racionais. Depois de encontrar a antiderivada, vamos verificar nossa resposta fazendo a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a parte exponencial . A integral de em relação a é . Aqui, , então:

Passo 3

Agora, vamos integrar a parte racional . Sabemos que a integral de é , desde que . Aqui, , então:

Passo 4

Juntando as duas integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para verificar nossa resposta, vamos derivar a antiderivada encontrada:
A derivada coincide com a função original, confirmando que nossa integração está correta.

Resposta

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Calcule.