Calcule e verifique sua resposta por derivação.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de
em relação a
e verificar a resposta por derivação. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente com integrais indefinidas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração, como a linearidade da integral e as integrais conhecidas de funções exponenciais e constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular:
A integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais de cada função separadamente. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais individualmente.
-
Integral de
em relação a : A integral deé uma das integrais mais básicas, pois a função exponencial é igual à sua própria derivada e integral. Portanto: ondeé a constante de integração. -
Integral de 4 em rela��ão a
: A integral de uma constanteem relação a é . Assim: ondeé outra constante de integração.
Passo 4
Agora, somamos as duas integrais obtidas:
Aqui,
representa a constante de integração geral.
Passo 5
Para verificar nossa resposta, vamos derivar a função encontrada e conferir se obtemos a função original
.
Derivando
em relação a
:
Como a derivada da constante
é zero, confirmamos que a derivada da nossa integral é igual à função original, validando nossa resposta.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine
reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
paralela(s) à reta
dada:
.
Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
e a equação da reta tangente em
. Faça um esboço da gráfico de cada função.
Calcule as integrais.
Calcule a integral.