Calcule e verifique sua resposta por derivação.
integral(e^x+4) d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de e^x + 4 em relação a x e verificar a resposta por derivação. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente com integrais indefinidas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração, como a linearidade da integral e as integrais conhecidas de funções exponenciais e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular:
integral (e^x + 4) dx
A integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais de cada função separadamente. Ou seja:
integral (e^x + 4) dx = integral e^x dx + integral 4 , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais individualmente.
  1. Integral de e^x em relação a x:
    A integral de e^x é uma das integrais mais básicas, pois a função exponencial é igual à sua própria derivada e integral. Portanto:
    integral e^x dx = e^x + C1
    onde C1 é a constante de integração.
  2. Integral de 4 em rela��ão a x:
    A integral de uma constante k em relação a x é k cdot x. Assim:
    integral 4 , dx = 4x + C2
    onde C2 é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, somamos as duas integrais obtidas:
integral (e^x + 4) dx = e^x + 4x + C
Aqui, C = C1 + C2 representa a constante de integração geral.

Passo 5

Para verificar nossa resposta, vamos derivar a função encontrada e conferir se obtemos a função original e^x + 4.
Derivando e^x + 4x + C em relação a x:
ddx (e^x + 4x + C) = e^x + 4
Como a derivada da constante C é zero, confirmamos que a derivada da nossa integral é igual à função original, validando nossa resposta.

Resposta

A integral de e^x + 4 em relação a x é:
e^x + 4x + C

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