Calcule as integrais. integral0^2 integral0^pi / 2 x sen(y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Aqui estamos trabalhando com integrais duplas, que servem para calcular áreas e volumes em funções de duas variáveis. Vamos precisar conhecer como integrar funções básicas e entender a ordem das integrais, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^pi / 2 x cdot sen(y) , dy . Isso significa que tratamos x cdot integral0^pi / 2 sen(y) , dy como uma constante nessa parte. A integral que vamos calcular é:
Como é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral sen(y) , dy = -cos(y) + C . A integral de é -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1 :
Aplicando os limites de integração de x cdot 1 = x a :
Então, a primeira parte da integral fica:

Passo 4

Agora que integrou em relação a integral0^2 x , dx , fica:
integral x , dx = x^22 + C
Vamos integrar 2^22 - 0^22 = 42 - 0 = 2 em relação a . A integral de é :
Aplicando os limites de a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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