Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D = {(x, y) | 1 <= x <= 3, 1 <= y <= 4} e tem função densidade sigma(x, y) = y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que está na região e que tem uma função densidade dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas, que ajudam a calcular áreas e volumes em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa da lâmina. A massa é obtida integrando a função densidade sobre a região . Então, temos:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a :

Passo 5

Com a massa encontrada, vamos calcular as coordenadas do centro de massa . Primeiro, calculamos :

Passo 6

Resolvendo a integral interna para :
á
Então,

Passo 7

Agora, calculamos :

Passo 8

Vamos calcular :

Passo 9

Resolvendo a integral interna para :
Então,

Passo 10

Agora, calculamos :

Resposta

A massa da lâmina é unidades de massa e o centro de massa está no ponto , ou aproximadamente .

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