Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que está na região e que tem uma função densidade dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas, que ajudam a calcular áreas e volumes em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa da lâmina. A massa é obtida integrando a função densidade sobre a região . Então, temos:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a :
Passo 5
Com a massa encontrada, vamos calcular as coordenadas do centro de massa . Primeiro, calculamos :
Passo 6
Resolvendo a integral interna para :
á
Então,
Passo 7
Agora, calculamos :
Passo 8
Vamos calcular :
Passo 9
Resolvendo a integral interna para :
Então,
Passo 10
Agora, calculamos :
Resposta
A massa da lâmina é unidades de massa e o centro de massa está no ponto , ou aproximadamente .