Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
c) O sólido delimitado por x^2 + y^2 = 4, z = 0 e 4x + 2y + z = 16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando integrais triplas para encontrar o volume do sólido delimitado pelas superfícies , e .
Conteúdo da matéria: Integrais triplas para cálculo de volumes.
O que vamos precisar:
  • Entender os limites de integração para , e .
  • Saber configurar a integral tripla em coordenadas cartesianas.
  • Calcular a integral para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido:
  1. Cilindro: — isso descreve um cilindro de raio 2 ao redor do eixo .
  2. Plano inferior: — é o plano , onde o sólido começa.
  3. Plano superior: — podemos resolver para para facilitar: .
Então, o sólido está entre o plano e o plano , e dentro do cilindro .
Teoria aplicada: Para calcular o volume, usamos a integral tripla onde integramos primeiro, depois e , considerando os limites estabelecidos pelas superfícies.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração:
  • Para : Começa em 0 e vai até .
  • Para : Para um dado , varia de a (isolando na equação do cilindro).
  • Para : Varia de a (já que o raio do cilindro é 2).
Teoria aplicada: Estabelecemos os limites inteiros para cada variável com base nas equações que definem as fronteiras do sólido.

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla para o volume :
Explicação:
  • Integramos de 0 até .
  • Para cada , vai de a .
  • varia de a .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a :
Vamos separar a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando:
Simplificando:
Porque é a mesma para positivo e negativo, a segunda parte da integral se cancela.

Passo 7

Agora, a integral para fica:
Podemos simplificar retirando o 2:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou reconhecendo-a como uma combinação de integrais padrão.

Passo 8

Vamos simplificar a integral. Primeiro, distribuímos dentro da integral:
Primeira integral: — é uma integral conhecida que representa a área de um semicírculo.
Segunda integral: — essa integral é uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, então ela se anula.
Calculando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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