Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
c)
sólido delimitado por
,
e
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando integrais triplas para encontrar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
,
e
.
Conteúdo da matéria: Integrais triplas para cálculo de volumes.
O que vamos precisar:
- Entender os limites de integração para
, e . - Saber configurar a integral tripla em coordenadas cartesianas.
- Calcular a integral para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido:
-
Cilindro:
— isso descreve um cilindro de raio 2 ao redor do eixo . -
Plano inferior:
— é o plano , onde o sólido começa. -
Plano superior:
— podemos resolver para para facilitar: .
Então, o sólido está entre o plano
e o plano
, e dentro do cilindro
.
Teoria aplicada: Para calcular o volume, usamos a integral tripla onde integramos
primeiro, depois
e
, considerando os limites estabelecidos pelas superfícies.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração:
-
Para
: Começa em 0 e vai até . -
Para
: Para um dado , varia de a (isolando na equação do cilindro). -
Para
: Varia de a (já que o raio do cilindro é 2).
Teoria aplicada: Estabelecemos os limites inteiros para cada variável com base nas equações que definem as fronteiras do sólido.
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla para o volume
:
Explicação:
- Integramos
de 0 até . - Para cada
, vai de a . -
varia de a .
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Vamos separar a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando:
Simplificando:
Porque
é a mesma para
positivo e negativo, a segunda parte da integral se cancela.
Passo 7
Agora, a integral para
fica:
Podemos simplificar retirando o 2:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou reconhecendo-a como uma combinação de integrais padrão.
Passo 8
Vamos simplificar a integral. Primeiro, distribuímos dentro da integral:
Primeira integral:
— é uma integral conhecida que representa a área de um semicírculo.
Segunda integral:
— essa integral é uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, então ela se anula.
Calculando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.