integral-1^x f(t) d t, onde f(t)= t^2, & se -1 <= t <= 1 2, & se t>1

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral-1^x f(t) , d t, onde a função f(t) é definida por partes:
f(t) = t^2, & se -1 <= t <= 1 2, & se t > 1
Aqui, estaremos trabalhando com cálculo integral, especificamente com funções definidas por partes. Precisaremos entender como calcular integrais de funções que mudam de expressão em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os intervalos em que a função f(t) muda de expressão. A função f(t) é igual a t^2 quando t está entre -1 e 1, e igual a 2 quando t é maior que 1. Isso significa que a forma da integral dependerá do valor de x.

Passo 3

Vamos considerar dois casos para resolver a integral:
  1. Caso 1: x <= 1
  2. Caso 2: x > 1

Passo 4

Caso 1: x <= 1
Nesse caso, todo o intervalo de integração está entre -1 e 1, onde f(t) = t^2. Então, a integral fica:
integral-1^x t^2 , d t
Para resolver essa integral, usamos a regra de integração de potências:
integral t^n , d t = t^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral-1^x t^2 , d t = [ t^33 ]-1^x = x^33 - (-1)^33 = x^33 + 13 = x^3 + 13

Passo 5

Caso 2: x > 1
Aqui, o intervalo de integração vai de -1 até x, que é maior que 1. Precisamos dividir a integral em duas partes:
integral-1^x f(t) , d t = integral-1^1 t^2 , d t + integral1^x 2 , d t
Primeiro, já sabemos como calcular integral-1^1 t^2 , d t:
integral-1^1 t^2 , d t = [ t^33 ]-1^1 = 1^33 - (-1)^33 = 13 + 13 = 23
Agora, calculamos integral1^x 2 , d t:
integral1^x 2 , d t = 2(t) g|1^x = 2x - 2
Somando as duas partes:
23 + (2x - 2) = 2x - 43

Resposta

A integral integral-1^x f(t) , d t pode ser expressa da seguinte forma:
integral-1^x f(t) , d t = x^3 + 13, & se x <= 1 2x - 43, & se x > 1

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