Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma função racional:
. Vamos precisar usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a fração
em frações parciais. Isso significa encontrar números
e
tais que:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, vamos expandir a expressão do lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para os termos com
: - Para os termos constantes:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a fração original como:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
As integrais de
são logaritmos naturais. Então:
Passo 10
Juntando tudo e combinando as constantes de integração (
):
Resposta
A integral
é igual a:
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Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.