Calcule as seguintes integrais. integral 2 x-3(x-1)(x-7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma função racional: . Vamos precisar usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração 2x - 3(x - 1)(x - 7) = Ax - 1 + Bx - 7 em frações parciais. Isso significa encontrar números e tais que:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 2x - 3 = A(x - 7) + B(x - 1) para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, vamos expandir a expressão do lado direito:
2x - 3 = A x - 7A + B x - B
Juntando os termos semelhantes:
2x - 3 = (A + B)x - (7A + B)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para os termos com :
  • Para os termos constantes:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. (A + B) + (-7A - B) = 2 + (-3) Rightarrow -6A = -1 Rightarrow A = 16
  2. 16 + B = 2 Rightarrow B = 2 - 16 = 126 - 16 = 116
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora que temos 2x - 3(x - 1)(x - 7) = 16x - 1 + 116x - 7 e 2x - 3(x - 1)(x - 7) = 16(x - 1) + 116(x - 7) , podemos escrever a fração original como:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 2x - 3(x - 1)(x - 7) , dx = integral 16(x - 1) , dx + integral 116(x - 7) , dx

Passo 9

As integrais de integral 16(x - 1) , dx = 16 ln|x - 1| + C1 são logaritmos naturais. Então:
integral 116(x - 7) , dx = 116 ln|x - 7| + C2

Passo 10

Juntando tudo e combinando as constantes de integração ( integral 2x - 3(x - 1)(x - 7) , dx = 16 ln|x - 1| + 116 ln|x - 7| + C ):

Resposta

A integral 16 ln|x - 1| + 116 ln|x - 7| + C é igual a:

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