Calcule as seguintes integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma função racional: . Vamos precisar usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. Isso significa encontrar números e tais que:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, vamos expandir a expressão do lado direito:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para os termos com :
  • Para os termos constantes:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a fração original como:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

As integrais de são logaritmos naturais. Então:

Passo 10

Juntando tudo e combinando as constantes de integração ( ):

Resposta

A integral é igual a:

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Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.