Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Nessa questão, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica muito útil para simplificar integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, observe que a potência do seno é ímpar ( ). Isso é importante porque quando temos uma potência ímpar de seno ou cosseno, podemos separar uma dessas funções para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral separando um :

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica para reescrever . Sabemos que:
Então,
Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos agora fazer a substituição . Assim, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral, também precisamos ajustar os limites de integração. Quando , . Quando , . Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de 1 e 0:
Para :
Para :
Portanto, a integral é:

Passo 8

Vamos calcular os valores:
Substituindo:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que
Calcule as integrais:
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. .
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. .