Calcule as integrais: integral0^pi2 sen^5 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Nessa questão, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica muito útil para simplificar integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, observe que a potência do seno é ímpar ( integral0^pi2 sin^5 x cos^2 x , dx = integral0^pi2 sin^4 x cdot sin x cos^2 x , dx ). Isso é importante porque quando temos uma potência ímpar de seno ou cosseno, podemos separar uma dessas funções para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral separando um :

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica para reescrever sin^2 x = 1 - cos^2 x . Sabemos que:
sin^4 x = (sin^2 x)^2 = (1 - cos^2 x)^2 = 1 - 2cos^2 x + cos^4 x
Então,
integral0^pi2 (1 - 2cos^2 x + cos^4 x) cdot sin x cos^2 x , dx
Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos agora fazer a substituição du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx . Assim, a derivada de integralu=1^u=0 (1 - 2u^2 + u^4) cdot u^2 cdot (-du) = integral0^1 (1 - 2u^2 + u^4) u^2 , du em relação a é:
Substituindo na integral, também precisamos ajustar os limites de integração. Quando , . Quando , . Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos dentro da integral:
(1 - 2u^2 + u^4) u^2 = u^2 - 2u^4 + u^6
Portanto, a integral fica:
integral0^1 ( u^2 - 2u^4 + u^6 ) du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral u^2 , du = u^33, integral 2u^4 , du = 2u^55, integral u^6 , du = u^77
Então, a integral se torna:
[ u^33 - 2u^55 + u^77 ]0^1

Passo 7

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de 1 e 0:
Para 1^33 - 2 cdot 1^55 + 1^77 = 13 - 25 + 17 :
0^33 - 2 cdot 0^55 + 0^77 = 0
Para 13 - 25 + 17 :
Portanto, a integral é:

Passo 8

Vamos calcular os valores:
13 = 35105, 25 = 42105, 17 = 15105
Substituindo:
35105 - 42105 + 15105 = 35 - 42 + 15105 = 8105

Resposta

A integral é igual a .

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