Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Nessa questão, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica muito útil para simplificar integrais desse tipo.
Passo 2
Primeiro, observe que a potência do seno é ímpar (
). Isso é importante porque quando temos uma potência ímpar de seno ou cosseno, podemos separar uma dessas funções para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral separando um
:
Passo 3
Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica para reescrever
. Sabemos que:
Então,
Substituindo na integral:
Passo 4
Vamos agora fazer a substituição
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral, também precisamos ajustar os limites de integração. Quando
,
. Quando
,
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de 1 e 0:
Para
:
Para
:
Portanto, a integral é:
Passo 8
Vamos calcular os valores:
Substituindo:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
Calcule as integrais:
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.