Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com uma série infinita, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e usar alguns teste de convergência para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso entendimento. A expressão pode ser reescrita como:
Isso porque . Agora, nossa série fica:
Passo 3
Agora, para determinar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Série Absoluta. Esse teste nos diz que se a série dos valores absolutos dos termos converge, então a série original também converge absolutamente.
Então, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 4
Sabemos que para qualquer valor de 0 <= |sen(n)| <= 1 , o valor absoluto de |sen(n)|n^3/2 <= 1n^3/2 está sempre entre 0 e 1, ou seja:
Então, podemos dizer que:
Passo 5
Agora, analisamos a série comparativa sumn=1^infty 1n^3/2 conver>= . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se .
No nosso caso, , então a série:
Passo 6
De volta à nossa série original dos valores absolutos:
sumn=1^infty |sen(n)|n^3/2 <= sumn=1^infty 1n^3/2
Como a série da direita converge e nossos termos são menores ou iguais a ela, pela Comparação Direta, nossa série de valores absolutos também converge.
Passo 7
Já que a série dos valores absolutos converge, pela definição de Convergência Absoluta, a série original: