Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta bacana para séries onde os termos têm potências envolvendo . Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste analisa o limite:
Onde é o termo geral da série. As regras são:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada e precisamos usar outro método.
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz ao nosso termo :
Perceba que ao tirar a raiz -ésima de algo elevado a , simplesmente removemos o expoente, ficando só com a base.

Passo 4

Agora, precisamos calcular esse limite:
Dividimos o numerador e o denominador por para facilitar:
À medida que fica muito grande, os termos e se aproximam de zero.

Passo 5

Agora que temos , vamos comparar com as condições do Teste da Raiz:
Segundo o teste, se , a série converge.

Resposta

A série converge.

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Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. .
Calcule as integrais:
Transforme as matrizes a seguir em matrizes equivalentes na forma escada.
Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;