Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. sumn=1^infty(3 n+44 n+5)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta bacana para séries onde os termos têm potências envolvendo . Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste analisa o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Onde é o termo geral da série. As regras são:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada e precisamos usar outro método.
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz ao nosso termo L = limn to infty raiz[n](3n + 44n + 5)^n = limn to infty 3n + 44n + 5 :
Perceba que ao tirar a raiz -ésima de algo elevado a , simplesmente removemos o expoente, ficando só com a base.

Passo 4

Agora, precisamos calcular esse limite:
L = limn to infty 3n + 44n + 5
Dividimos o numerador e o denominador por L = limn to infty 3 + 4n4 + 5n = 3 + 04 + 0 = 34 para facilitar:
À medida que fica muito grande, os termos e se aproximam de zero.

Passo 5

Agora que temos 34 < 1 , vamos comparar com as condições do Teste da Raiz:
Segundo o teste, se , a série converge.

Resposta

A série converge.

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