Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta bacana para séries onde os termos têm potências envolvendo
. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste analisa o limite:
Onde
é o termo geral da série. As regras são:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste não conclui nada e precisamos usar outro método.
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz ao nosso termo
:
Perceba que ao tirar a raiz
-ésima de algo elevado a
, simplesmente removemos o expoente, ficando só com a base.
Passo 4
Agora, precisamos calcular esse limite:
Dividimos o numerador e o denominador por
para facilitar:
À medida que
fica muito grande, os termos
e
se aproximam de zero.
Passo 5
Agora que temos
, vamos comparar com as condições do Teste da Raiz:
Segundo o teste, se
, a série converge.
Resposta
A série
converge.