Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta bacana para séries onde os termos têm potências envolvendo . Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste analisa o limite:
Onde é o termo geral da série. As regras são:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não conclui nada e precisamos usar outro método.
No nosso caso, .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz ao nosso termo :
Perceba que ao tirar a raiz -ésima de algo elevado a , simplesmente removemos o expoente, ficando só com a base.
Passo 4
Agora, precisamos calcular esse limite:
Dividimos o numerador e o denominador por para facilitar:
À medida que fica muito grande, os termos e se aproximam de zero.
Passo 5
Agora que temos , vamos comparar com as condições do Teste da Raiz: