Calcule as integrais. integral0^pi2 e^sen x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado a cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar uma parte da integral que possa ser substituída para simplificar o cálculo. Observamos que temos multiplicado por . Isso é uma pista de que podemos usar a substituição, já que a derivada de é .

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = cos x , dx . Agora, precisamos encontrar :
Perceba que aparece exatamente na nossa integral original, o que facilita a substituição.

Passo 4

Depois de substituir, devemos ajustar os limites de integração para a nova variável :
  • Quando , temos .
  • Quando , temos .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral0^pi2 e^sin x cos x , dx = integral0^1 e^u , du
Isso simplifica bastante a nossa integral!

Passo 6

A próxima etapa é calcular a integral de integral e^u , du = e^u + C em relação a :
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante de integração .

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração:
integral0^1 e^u , du = e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

A integral vale .

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