Calcule os limites: lim x 0 x^2-sen^2 xsen^2 x.

Passo 1

Então, temos o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender as aproximações da função seno para valores próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para valores pequenos de sen x approx x - x^36 , podemos aproximar usando a série de Taylor:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular sen^2 x approx (x - x^36)^2 = x^2 - x^43 utilizando a aproximação:
x^2 - sen^2 xsen^2 x approx x^2 - (x^2 - x^43)x^2 - x^43 = x^43x^2 - x^43
Assim, a expressão do limite fica:

Passo 4

Simplificando a fração:
x^43x^2 - x^43 = x^4/3x^2(1 - x^23) = x^2/31 - x^23
À medida que x^2/31 = x^23 se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então a expressão fica:

Passo 5

Finalmente, calculamos o limite:
lim x 0 x^23 = 03 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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