Então, a gente tem que encontrar a transformada de Fourier da função e fazer isso de duas maneiras diferentes. Vamos usar conhecimentos de transformadas de Fourier e propriedades de funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função é definida por:
No nosso caso, , então precisamos calcular:
Passo 3
Vamos resolver essa integral usando a primeira maneira: integração por partes. Lembrando que pela integração por partes, temos:
Vamos escolher:
Essa integral para não é trivial, mas sabemos que a transformada de é . Portanto, aplicando isso, obtemos:
Agora, aplicando integração por partes:
O termo tende a zero quando vai para , então sobra:
Mas isso não faz sentido, então precisamos reconsiderar. A integração por partes não foi a melhor abordagem aqui.
Passo 4
Vamos tentar a segunda maneira: usando a propriedade da derivada na transformada de Fourier. Sabemos que: