Determine de duas maneiras diferentes.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a transformada de Fourier da função e fazer isso de duas maneiras diferentes. Vamos usar conhecimentos de transformadas de Fourier e propriedades de funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função é definida por:
No nosso caso, , então precisamos calcular:

Passo 3

Vamos resolver essa integral usando a primeira maneira: integração por partes. Lembrando que pela integração por partes, temos:
Vamos escolher:
Essa integral para não é trivial, mas sabemos que a transformada de é . Portanto, aplicando isso, obtemos:
Agora, aplicando integração por partes:
O termo tende a zero quando vai para , então sobra:
Mas isso não faz sentido, então precisamos reconsiderar. A integração por partes não foi a melhor abordagem aqui.

Passo 4

Vamos tentar a segunda maneira: usando a propriedade da derivada na transformada de Fourier. Sabemos que:
No nosso caso, , cuja transformada de Fourier é:
Então, aplicando a propriedade da derivada:
Simplificando, temos:

Resposta

Portanto, a transformada de Fourier de é:

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Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
(d) á
Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
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Calcule as integrais:
Sejam e números naturais. Calcule