Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier inversa de uma função definida por partes. Estamos lidando com transformadas de Fourier, que são usadas para analisar sinais em termos de suas frequências. Para isso, vamos precisar da tabela de transformadas de Fourier e entender como aplicar a transformada inversa em funções simples como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
Isso significa que
é igual a 1 no intervalo entre
e
e zero fora desse intervalo. É como um “retângulo” no gráfico de
.
Passo 3
A transformada de Fourier inversa é usada para voltar do domínio da frequência para o domínio do tempo. A fórmula geral da transformada de Fourier inversa é:
Mas, como nossa função
é zero fora de
, podemos ajustar os limites da integral para esse intervalo.
Passo 4
Substituindo
na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. A integral de
em relação a
é uma função exponencial complexa.
Passo 5
Integrando, obtemos:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 6
Podemos simplificar essa expressão. Lembrando que
, ficamos com:
Agora, usando a identidade de Euler
, podemos separar as partes reais e imaginárias:
Resposta
A transformada de Fourier inversa da função dada é:
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(b)
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Determine
de duas maneiras diferentes.
Calcule as integrais: