Seja F = x e^y i - (x cos z) j - z e^y k. Ache G, tal que F = rot G.

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial . O objetivo aqui é encontrar outro campo vetorial G tal que o rotacional de G seja igual a F, ou seja, . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre o rotacional e como encontrar um campo potencial.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o rotacional de um campo vetorial é dado por:
Nosso objetivo é encontrar , e que satisfaçam:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações parciais. Uma estratégia comum é assumir que algumas componentes de G são zero para simplificar. Vamos supor que . Assim, as equações se simplificam para:
Da segunda equação, temos:
Integrando em relação a x:
Onde é uma função arbitrária de y e z. Agora, vamos usar a terceira equação:
Integrando em relação a x:
Agora, substituímos e nas primeiras equações para encontrar e . Após simplificações, descobrimos que e devem ser constantes ou funções que se cancelam, levando a:

Resposta

Portanto, um campo vetorial G que satisfaz é:

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