Calcule as integrais:
integral0^3 integral0^1 raizx+y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^3 integral0^1 raizx+y , dx , dy. Nesse exercício, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar uma função que depende de duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integral0^1 raizx+y , dx. Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Para integrar , podemos fazer uma substituição. Vamos deixar . Então, . Quando , , e quando , .

Passo 4

Substituindo na integral, fica: integraly^1+y raizu , du. A integral de 23 [(1+y)^3/2 - y^3/2] é . Então, aplicando os limites de integração:

Passo 5

Agora, voltamos à integral externa: integral0^3 23 [(1+y)^3/2 - y^3/2] , dy. Podemos fatorar o 23 integral0^3 [(1+y)^3/2 - y^3/2] , dy:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo. Primeiro, para :
A integral de em relação a é .
Segundo, para :
A integral de em relação a é .

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 3:
23 [ 25 ((1+3)^5/2 - (1+0)^5/2) - 25 (3^5/2 - 0^5/2) ]
Simplificando:
23 [ 25 (4^5/2 - 1^5/2) - 25 (3^5/2 - 0) ]

Passo 8

Calculando os valores:
23 [ 25 (32 - 1) - 25 (9raiz3) ]
23 [ 25 cdot 31 - 25 cdot 9raiz3 ]
Então:

Passo 9

Simplificando mais:
23 ( 625 - 18raiz35 )
Factorizando 23 cdot 15 (62 - 18raiz3):
215 (62 - 18raiz3)

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
215 (62 - 18raiz3)
Ou, se preferir uma forma simplificada:
124 - 36raiz315

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