Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Nesse exercício, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar uma função que depende de duas variáveis, primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
. Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Para integrar
, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Então,
. Quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
Substituindo na integral, fica:
. A integral de
é
. Então, aplicando os limites de integração:
Passo 5
Agora, voltamos à integral externa:
. Podemos fatorar o
:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo. Primeiro, para
:
A integral de
em relação a
é
.
Segundo, para
:
A integral de
em relação a
é
.
Passo 7
Aplicando os limites de 0 a 3:
Simplificando:
Passo 8
Calculando os valores:
Então:
Passo 9
Simplificando mais:
Factorizando
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Ou, se preferir uma forma simplificada: