Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (d) S é o sólido limitado por z = 2x + 1, x = y^2 e x - y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é limitado por , e . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular volumes de sólidos delimitados por superfícies e curvas no espaço 3D.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as curvas que delimitam nossa região no plano . Temos duas equações: (uma parábola) e (uma linha reta). Vamos desenhar essas no plano para visualizar a região de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos e :
Rearranjando a equação:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Assim, e . Esses são os limites de para nossa região de integração.

Passo 5

Agora, para cada entre e , varia de até . Isso define os limites de para a integração interna.

Passo 6

Com os limites definidos, montamos a integral dupla para o volume :
Aqui, representa a função que define a altura do sólido em cada ponto .

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 9

Calculando nos limites e :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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