Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (d)
é o sólido limitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido
que é limitado por
,
e
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular volumes de sólidos delimitados por superfícies e curvas no espaço 3D.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as curvas que delimitam nossa região no plano
. Temos duas equações:
(uma parábola) e
(uma linha reta). Vamos desenhar essas no plano para visualizar a região de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos
e
:
Rearranjando a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Assim,
e
. Esses são os limites de
para nossa região de integração.
Passo 5
Agora, para cada
entre
e
,
varia de
até
. Isso define os limites de
para a integração interna.
Passo 6
Com os limites definidos, montamos a integral dupla para o volume
:
Aqui,
representa a função que define a altura do sólido em cada ponto
.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 9
Calculando nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.