Investigue a continuidade das funções a seguir:
a)
no ponto a = 1
a)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E a gente precisa investigar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que a função
é contínua no ponto
se três condições forem verdadeiras:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três condições para a função
no ponto
.
Passo 3
1. Verificar se
está definido:
Vamos substituir
na definição da função. Como
, usamos a primeira parte:
Então,
está definido e vale 2.
Passo 4
2. Calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Como a função é definida por partes, precisamos calcular o limite pela esquerda e pelo direito.
- Limite pela esquerda (
):
Para
, a função é
. Então:
- Limite pela direita (
):
Para
, a função é
. Então:
Passo 5
3. Comparar o limite com
:
O limite pela esquerda é 1 e o limite pela direita é 2. Para que o limite exista, os dois limites laterais precisam ser iguais. Aqui, eles são diferentes:
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de 1 não existe.
Passo 6
Conclusão sobre a continuidade:
Como o limite de
quando
se aproxima de 1 não existe (os limites laterais são diferentes), a função
não é contínua no ponto
.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque os limites laterais são diferentes.