Investigue a continuidade das funções a seguir:
a) g(x) = { x + 1, se x ≥ 1; x, se x < 1 } no ponto a = 1

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E a gente precisa investigar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que a função é contínua no ponto se três condições forem verdadeiras:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três condições para a função no ponto .

Passo 3

1. Verificar se está definido:
Vamos substituir na definição da função. Como , usamos a primeira parte:
Então, está definido e vale 2.

Passo 4

2. Calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Como a função é definida por partes, precisamos calcular o limite pela esquerda e pelo direito.
  • Limite pela esquerda ( ):
Para , a função é . Então:
  • Limite pela direita ( ):
Para , a função é . Então:

Passo 5

3. Comparar o limite com :
O limite pela esquerda é 1 e o limite pela direita é 2. Para que o limite exista, os dois limites laterais precisam ser iguais. Aqui, eles são diferentes:
Portanto, o limite de quando se aproxima de 1 não existe.

Passo 6

Conclusão sobre a continuidade:
Como o limite de quando se aproxima de 1 não existe (os limites laterais são diferentes), a função não é contínua no ponto .

Resposta

A função não é contínua no ponto porque os limites laterais são diferentes.

Exercícios relacionados