Calcule, usando a integral tripla, o volume dos seguintes sólidos: (d) W é o sólido limitado pelas superfícies z = y^2, z = 2 - y^2, x = 0 e x + z = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo de volume usando integrais triplas. A gente precisa entender as superfícies que limitam o sólido :
Vamos precisar usar conhecimentos de geometria espacial e integração múltipla para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies e . Essas duas são parábolas que abrem em direções opostas no eixo . O ponto onde elas se encontram é quando . Resolvendo isso:
Então, varia de a .

Passo 3

Agora, para cada valor de entre e , varia de até .
Em relação a , temos duas superfícies:
  • é o plano .
  • pode ser rearranjado para .
Então, para cada , varia de até .

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Calculando nos limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Podemos fatorar o 6:

Passo 8

Integrando em relação a :
Calculando nos limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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