Calcule as seguintes integrais indefinidas.

Passo 1

Vamos resumir o exercício: precisamos calcular a integral indefinida de em relação a . Para resolver isso, vamos usar as regras básicas de integração, especificamente a soma de integrais e a aplicação da potência de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Sabemos que pode ser reescrito como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes, já que a integral da soma é igual à soma das integrais:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. A regra básica para integrar é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando essa regra à primeira integral :

Passo 6

Agora, aplicamos a mesma regra à segunda integral :

Resposta

Juntando as duas partes, a integral indefinida é:

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Nos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando .
Seja C definido ao longo de um arco , indo de até . Calcule a integral . Justifique sua resposta.
Calcule as integrais.