Nos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos como autovalores e autovetores para resolver o problema. Nosso objetivo é achar a solução do sistema dada a condição inicial e entender como essa solução se comporta quando cresce muito, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz do sistema. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
A matriz é:
Vamos montar a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Podemos escolher , então
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Podemos escolher , então

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar as constantes e .
Substituindo na solução:
Isso gera o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Vamos agora entender o comportamento da solução quando .
Observamos os coeficientes exponenciais:
  • cresce muito rápido porque o expoente é positivo.
  • tende a zero porque o expoente é negativo.
Portanto, conforme aumenta, a parte com desaparece e a solução é dominada por , ou seja, a solução cresce exponencialmente sem limites.

Resposta

A solução do sistema é:
Quando , a solução cresce exponencialmente devido ao termo , dominando o comportamento do sistema.

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Seja C definido ao longo de um arco , indo de até . Calcule a integral . Justifique sua resposta.
b) mostre que
Calcule as seguintes integrais indefinidas.
Calcule as integrais.