Nos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos como autovalores e autovetores para resolver o problema. Nosso objetivo é achar a solução do sistema dada a condição inicial
e entender como essa solução se comporta quando
cresce muito, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz do sistema. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica
, onde
é a matriz identidade.
A matriz
é:
Vamos montar a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Da primeira equação:
Podemos escolher
, então
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Da primeira equação:
Podemos escolher
, então
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar as constantes
e
.
Substituindo
na solução:
Isso gera o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Vamos agora entender o comportamento da solução quando
.
Observamos os coeficientes exponenciais:
-
cresce muito rápido porque o expoente é positivo. -
tende a zero porque o expoente é negativo.
Portanto, conforme
aumenta, a parte com
desaparece e a solução é dominada por
, ou seja, a solução cresce exponencialmente sem limites.
Resposta
A solução do sistema é:
Quando
, a solução cresce exponencialmente devido ao termo
, dominando o comportamento do sistema.
Exercícios relacionados
Seja C definido ao longo de um arco
, indo de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta.
b) mostre que
Calcule as seguintes integrais indefinidas.
Calcule as integrais.