Calcule as integrais:
integral0^1 x(x^2+3)^5;

Passo 1

Oi! Vamos resolver essa integral juntos. O exercício pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função dentro da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Nesse caso, temos u = x^2 + 3 elevado a uma potência. Vamos chamar essa parte de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para substituir na integral. Vamos derivar :
Isso implica que:

Passo 4

Observamos que na nossa integral original temos um termo x , dx = du2 . Precisamos expressar em termos de . Da equação anterior:

Passo 5

Agora, substituímos integral0^1 x(x^2 + 3)^5 , dx = integral u^5 cdot du2 = 12 integral u^5 , du e na integral original:

Passo 6

Vamos agora integrar 12 integral u^5 , du = 12 cdot u^66 + C = u^612 + C em relação a :
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos do .

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original (x^2 + 3)^612 substituindo :

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o valor da integral definida substituindo os limites de integração de 0 a 1:
[ (x^2 + 3)^612 ]0^1 = (1^2 + 3)^612 - (0^2 + 3)^612
= (1 + 3)^612 - 3^612 = 4^6 - 3^612

Resposta

Calculando os valores:
4^6 = 4096 e 3^6 = 729
4096 - 72912 = 336712 approx 280,58
Portanto, o valor da integral é aproximadamente 280,58.

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