Mostre que o limite não existe.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o limite não existe. Isso está relacionado ao estudo de limites multivariáveis, onde precisamos verificar se o resultado é o mesmo independente de como a gente se aproxima do ponto . Vamos precisar analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se os limites são diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar aproximar o ponto alongando o eixo x, ou seja, mantendo . Substituindo isso na função, temos:
Então, o limite quando nos aproximamos de ao longo de é 0.

Passo 3

Agora, vamos aproximar o ponto alongando o eixo y, ou seja, mantendo . Substituindo isso na função, temos:
Então, o limite quando nos aproximamos de ao longo de é 2.

Passo 4

Observamos que obtivemos dois resultados diferentes dependendo de como nos aproximamos do ponto . Se o limite existisse, ele teria que ser o mesmo independente do caminho escolhido. Como temos resultados diferentes ( e ), isso indica que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque os valores do limite variam dependendo do caminho de aproximação.

Exercícios relacionados

Mostre que o limite não existe.
Mostre que o limite não existe.
Calcule as integrais:
;
Mostre que o limite não existe.