Mostre que o limite não existe. lim (x, y) (2,0) 2 y^2(x-2)^2+y^2

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o limite lim (x, y) (2,0) 2 y^2(x-2)^2+y^2 não existe. Isso está relacionado ao estudo de limites multivariáveis, onde precisamos verificar se o resultado é o mesmo independente de como a gente se aproxima do ponto (2,0). Vamos precisar analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se os limites são diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar aproximar o ponto (2,0) alongando o eixo x, ou seja, mantendo y = 0. Substituindo isso na função, temos:
2 cdot 0^2(x-2)^2+0^2 = 0(x-2)^2 = 0
Então, o limite quando nos aproximamos de (2,0) ao longo de y = 0 é 0.

Passo 3

Agora, vamos aproximar o ponto (2,0) alongando o eixo y, ou seja, mantendo x = 2. Substituindo isso na função, temos:
2 y^2(2-2)^2+y^2 = 2 y^20 + y^2 = 2
Então, o limite quando nos aproximamos de (2,0) ao longo de x = 2 é 2.

Passo 4

Observamos que obtivemos dois resultados diferentes dependendo de como nos aproximamos do ponto (2,0). Se o limite existisse, ele teria que ser o mesmo independente do caminho escolhido. Como temos resultados diferentes ( 0 e 2), isso indica que o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (2,0) 2 y^2(x-2)^2+y^2 não existe porque os valores do limite variam dependendo do caminho de aproximação.

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