Mostre que o limite não existe.
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o limite
não existe. Isso está relacionado ao estudo de limites multivariáveis, onde precisamos verificar se o resultado é o mesmo independente de como a gente se aproxima do ponto
. Vamos precisar analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se os limites são diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar aproximar o ponto
alongando o eixo x, ou seja, mantendo
. Substituindo isso na função, temos:
Então, o limite quando nos aproximamos de
ao longo de
é 0.
Passo 3
Agora, vamos aproximar o ponto
alongando o eixo y, ou seja, mantendo
. Substituindo isso na função, temos:
Então, o limite quando nos aproximamos de
ao longo de
é 2.
Passo 4
Observamos que obtivemos dois resultados diferentes dependendo de como nos aproximamos do ponto
. Se o limite existisse, ele teria que ser o mesmo independente do caminho escolhido. Como temos resultados diferentes (
e
), isso indica que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os valores do limite variam dependendo do caminho de aproximação.
Exercícios relacionados
Mostre que o limite não existe.
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Calcule as integrais:
;
Mostre que o limite não existe.