Mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o limite não existe. Isso está relacionado ao assunto de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam quando nos aproximamos do ponto por caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um limite existir em , o valor do limite tem que ser o mesmo independentemente do caminho que a gente escolher para chegar nesse ponto. Então, se conseguirmos mostrar que ao se aproximar por dois caminhos diferentes os limites são diferentes, já provamos que o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos simples para nos aproximarmos de :
  1. Caminho 1: Aproximando-se ao longo do eixo
    Aqui, , então a expressão fica:
    Portanto, o limite nesse caminho é 0.

Passo 4

  1. Caminho 2: Aproximando-se ao longo da reta
    Substituindo por , a expressão fica:
    Sabemos que , então:
    Portanto, o limite nesse caminho é .

Passo 5

Como vimos, ao nos aproximarmos pelo caminho , o limite é 0, e ao nos aproximarmos pelo caminho , o limite é . Esses dois valores são diferentes.

Resposta

Como os limites obtidos por caminhos distintos são diferentes (0 e ), concluímos que o limite não existe.

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Calcule as integrais:
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