Mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular:
Esse exercício está na área de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para mostrar que esse limite não existe, a gente vai precisar analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite quando
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Agora, quando
se aproxima de 0,
tende para
se
vem de valores positivos e para
se
vem de valores negativos. Isso já sugere que o limite pode não existir, mas vamos conferir outro caminho.
Passo 3
Vamos agora considerar o caminho onde
. Substituindo
por
na função, temos:
Aqui, o denominador é zero, o que nos leva a uma indeterminação. Mas observando o numerador,
se aproxima de
quando
se aproxima de 0. Então, o numerador se aproxima de
, e a expressão fica:
Isso também é indefinido e indica que o limite não existe por esse caminho.
Resposta
Como obtivemos comportamentos diferentes (tendendo para
ou
em um caminho, e indefinido em outro), concluímos que o limite
não existe.
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