Mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x(cos y+1)x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular:
lim (x, y) (0,0) x(cos y + 1)x^2 - y^2
Esse exercício está na área de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para mostrar que esse limite não existe, a gente vai precisar analisar o comportamento da função conforme se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite quando x(cos 0 + 1)x^2 - 0^2 = x(1 + 1)x^2 = 2xx^2 = 2x . Substituindo por 0 na função, temos:
Agora, quando se aproxima de 0, tende para se vem de valores positivos e para se vem de valores negativos. Isso já sugere que o limite pode não existir, mas vamos conferir outro caminho.

Passo 3

Vamos agora considerar o caminho onde x(cos x + 1)x^2 - x^2 = x(cos x + 1)0 . Substituindo 2x0 por na função, temos:
Aqui, o denominador é zero, o que nos leva a uma indeterminação. Mas observando o numerador, se aproxima de quando se aproxima de 0. Então, o numerador se aproxima de , e a expressão fica:
Isso também é indefinido e indica que o limite não existe por esse caminho.

Resposta

Como obtivemos comportamentos diferentes (tendendo para lim (x, y) (0,0) x(cos y + 1)x^2 - y^2 ou em um caminho, e indefinido em outro), concluímos que o limite
não existe.

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