Calcule as integrais:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular . Aqui a gente vai utilizar técnicas de cálculo integral, mais especificamente a integração por substituição. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifique a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável como sendo a parte dentro do arco-tangente:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para fazer a substituição:
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de :
Calculando os novos limites de integração:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar em relação a . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando isso na nossa integral definida:
Vamos calcular avaliando nos limites de 1 a 3.

Passo 7

Primeiro, avaliamos em :
Depois, em :

Passo 8

Subtraindo as duas avaliações:
Simplificando:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
Ou, de forma simplificada:

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