Calcule as integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular
. Aqui a gente vai utilizar técnicas de cálculo integral, mais especificamente a integração por substituição. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifique a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
como sendo a parte dentro do arco-tangente:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para fazer a substituição:
Isso nos dá:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
:
Calculando os novos limites de integração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
em relação a
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando isso na nossa integral definida:
Vamos calcular avaliando nos limites de 1 a 3.
Passo 7
Primeiro, avaliamos em
:
Depois, em
:
Passo 8
Subtraindo as duas avaliações:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Ou, de forma simplificada:
Exercícios relacionados
Calcule o limite.
Calcule o limite.
Seja
a região interior ao círculo de equação
, compreendida entre a retas
e
. Indique
como integral iterada nas duas possíveis ordens de integração e como integral iterada em coordenadas polares.
Calcule o limite.