Calcule as integrais:
integral0^1 x arctan (1+2 x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular . Aqui a gente vai utilizar técnicas de cálculo integral, mais especificamente a integração por substituição. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifique a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável t = 1 + 2x^2 como sendo a parte dentro do arco-tangente:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dtdx = 4x Rightarrow dt = 4x , dx em relação a x , dx = dt4 para fazer a substituição:
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral0^1 x arctan (1+2 x^2) dx = integralt(0)^t(1) arctan(t) cdot dt4 :
t(0) = 1 + 2(0)^2 = 1
Calculando os novos limites de integração:
t(1) = 1 + 2(1)^2 = 3
14 integral1^3 arctan(t) , dt
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar integral arctan(t) , dt = t arctan(t) - 12 ln(1 + t^2) + C em relação a . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando isso na nossa integral definida:
14 [ t arctan(t) - 12 ln(1 + t^2) ]1^3
Vamos calcular avaliando nos limites de 1 a 3.

Passo 7

Primeiro, avaliamos em 3 arctan(3) - 12 ln(10) :
1 arctan(1) - 12 ln(2)
Depois, em :

Passo 8

Subtraindo as duas avaliações:
(3 arctan(3) - 12 ln(10)) - (arctan(1) - 12 ln(2))
Simplificando:
3 arctan(3) - arctan(1) - 12 ln(102) = 3 arctan(3) - pi4 - 12 ln(5)

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
integral0^1 x arctan (1+2 x^2) dx = 14 (3 arctan(3) - pi4 - 12 ln(5))
Ou, de forma simplificada:
34 arctan(3) - pi16 - 18 ln(5)

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