Calcule o limite. lim (x, y, z) (0,0,0) sen(x^2+y^2+z^2)x^2+y^2+z^2

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado com o estudo de limites em várias variáveis, especificamente em três dimensões. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a função seno perto de zero e aplicar esse conhecimento ao nosso limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que tanto o numerador quanto o denominador envolvem r^2 = x^2 + y^2 + z^2 . Vamos chamar essa soma de limr to 0 sen(r^2)r^2 , ou seja:
Assim, nosso limite fica:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade básica do limite da função seno. Sabemos que:
Esse é um limite fundamental em cálculo que nos diz que, quando limt to 0 sen(t)t = 1 se aproxima de zero, se aproxima de 1.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde limr to 0 sen(r^2)r^2 = 1 , temos que quando , também . Portanto:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados