Calcule o limite.

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado com o estudo de limites em várias variáveis, especificamente em três dimensões. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a função seno perto de zero e aplicar esse conhecimento ao nosso limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que tanto o numerador quanto o denominador envolvem . Vamos chamar essa soma de , ou seja:
Assim, nosso limite fica:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade básica do limite da função seno. Sabemos que:
Esse é um limite fundamental em cálculo que nos diz que, quando se aproxima de zero, se aproxima de 1.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde , temos que quando , também . Portanto:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Seja a região interior ao círculo de equação , compreendida entre a retas e . Indique como integral iterada nas duas possíveis ordens de integração e como integral iterada em coordenadas polares.
Calcule as integrais:
.
Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.
Seja . Determine o limite de quando tende a ao longo a curva