Calcule o limite.
Passo 1
Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado com o estudo de limites em várias variáveis, especificamente em três dimensões. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a função seno perto de zero e aplicar esse conhecimento ao nosso limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que tanto o numerador quanto o denominador envolvem
. Vamos chamar essa soma de
, ou seja:
Assim, nosso limite fica:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de uma propriedade básica do limite da função seno. Sabemos que:
Esse é um limite fundamental em cálculo que nos diz que, quando
se aproxima de zero, se aproxima de 1.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde
, temos que quando
, também
. Portanto:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
a região interior ao círculo de equação
, compreendida entre a retas
e
. Indique
como integral iterada nas duas possíveis ordens de integração e como integral iterada em coordenadas polares.
Calcule as integrais:
.
Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.
Seja
. Determine o limite de
quando
tende a
ao longo a curva