Seja a região interior ao círculo de equação , compreendida entre a retas e . Indique como integral iterada nas duas possíveis ordens de integração e como integral iterada em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla sobre uma região específica. Primeiro, temos um círculo dado pela equação , e a região que nos interessa está entre as retas e . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com integrais duplas em coordenadas cartesianas (com e ) e também em coordenadas polares. Vamos dividir a resolução em partes organizadas pra facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração no plano cartesiano. A equação do círculo pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que o círculo tem centro em e raio 1. As retas e são linhas que passam pela origem e formam um ângulo de 45 graus com os eixos.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas cartesianas. Para isso, precisamos identificar onde as retas interceptam o círculo.
Substituindo na equação do círculo:
Então, os pontos de interseção são e . O mesmo acontece substituindo , obtendo . Isso nos ajuda a definir os limites para e .

Passo 4

Vamos montar a integral iterada na ordem . Primeiro, fixamos variando de 0 a 1. Para cada , varia de a :

Passo 5

Agora, vamos inverter a ordem de integração para . Primeiro, fixamos e determinamos como varia para cada . Observando o círculo , resolvemos para :
Mas, dentro da região entre e , varia de a . Porém, como as retas passam pela origem, e o círculo vai de a , simplificamos os limites:

Passo 6

Por fim, vamos transformar a integral para coordenadas polares. Lembrando que:
A equação do círculo em polares fica:
As retas e correspondem a e , respectivamente. Portanto, os limites são de a e de 0 a .

Resposta

As integrais iteradas são:
  1. Na ordem :
  1. Na ordem :
E em coordenadas polares:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais:
.
Calcule o limite.
Calcule o limite.
Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.