Seja
a região interior ao círculo de equação
, compreendida entre a retas
e
. Indique
como integral iterada nas duas possíveis ordens de integração e como integral iterada em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla sobre uma região específica. Primeiro, temos um círculo dado pela equação
, e a região que nos interessa está entre as retas
e
. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com integrais duplas em coordenadas cartesianas (com
e
) e também em coordenadas polares. Vamos dividir a resolução em partes organizadas pra facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração no plano cartesiano. A equação do círculo
pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que o círculo tem centro em
e raio 1. As retas
e
são linhas que passam pela origem e formam um ângulo de 45 graus com os eixos.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas cartesianas. Para isso, precisamos identificar onde as retas interceptam o círculo.
Substituindo
na equação do círculo:
Então, os pontos de interseção são
e
. O mesmo acontece substituindo
, obtendo
. Isso nos ajuda a definir os limites para
e
.
Passo 4
Vamos montar a integral iterada na ordem
. Primeiro, fixamos
variando de 0 a 1. Para cada
,
varia de
a
:
Passo 5
Agora, vamos inverter a ordem de integração para
. Primeiro, fixamos
e determinamos como
varia para cada
. Observando o círculo
, resolvemos para
:
Mas, dentro da região entre
e
,
varia de
a
. Porém, como as retas passam pela origem, e o círculo vai de
a
, simplificamos os limites:
Passo 6
Por fim, vamos transformar a integral para coordenadas polares. Lembrando que:
A equação do círculo em polares fica:
As retas
e
correspondem a
e
, respectivamente. Portanto, os limites são
de
a
e
de 0 a
.
Resposta
As integrais iteradas são:
- Na ordem
:
- Na ordem
:
E em coordenadas polares:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
.
Calcule o limite.
Calcule o limite.
Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.