Seja R a região interior ao círculo de equação x^2+y^2=2 x, compreendida entre a retas y=x e y=-x. Indique integral dupla f(x, y) d x d y como integral iterada nas duas possíveis ordens de integração e como integral iterada em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla sobre uma região específica. Primeiro, temos um círculo dado pela equação , e a região que nos interessa está entre as retas e . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com integrais duplas em coordenadas cartesianas (com e ) e também em coordenadas polares. Vamos dividir a resolução em partes organizadas pra facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração no plano cartesiano. A equação do círculo x^2 - 2x + y^2 = 0 implies (x - 1)^2 + y^2 = 1 pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que o círculo tem centro em e raio 1. As retas e são linhas que passam pela origem e formam um ângulo de 45 graus com os eixos.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas cartesianas. Para isso, precisamos identificar onde as retas interceptam o círculo.
Substituindo (x - 1)^2 + x^2 = 1 implies 2x^2 - 2x = 0 implies 2x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1 na equação do círculo:
Então, os pontos de interseção são e . O mesmo acontece substituindo , obtendo . Isso nos ajuda a definir os limites para e .

Passo 4

Vamos montar a integral iterada na ordem integral dupla f(x, y),dx,dy = integral0^1 integral-x^x f(x, y),dy,dx . Primeiro, fixamos variando de 0 a 1. Para cada , varia de a :

Passo 5

Agora, vamos inverter a ordem de integração para x = 1 pm raiz1 - y^2 . Primeiro, fixamos integral-1^1 integral1 - raiz1 - y^2^1 + raiz1 - y^2 f(x, y),dx,dy e determinamos como varia para cada . Observando o círculo , resolvemos para :
Mas, dentro da região entre e , varia de a . Porém, como as retas passam pela origem, e o círculo vai de a , simplificamos os limites:

Passo 6

Por fim, vamos transformar a integral para coordenadas polares. Lembrando que:
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta
A equação do círculo em polares fica:
(rcostheta - 1)^2 + (rsintheta)^2 = 1 implies r^2 - 2rcostheta = 0 implies r = 2costheta
As retas integral dupla f(x, y),dx,dy = integral-pi4^pi4 integral0^2costheta f(rcostheta, rsintheta) cdot r,dr,dtheta e correspondem a e , respectivamente. Portanto, os limites são de a e de 0 a .

Resposta

As integrais iteradas são:
  1. Na ordem integral0^1 integral-x^x f(x, y),dy,dx :
integral-1^1 integral1 - raiz1 - y^2^1 + raiz1 - y^2 f(x, y),dx,dy
  1. Na ordem integral-pi4^pi4 integral0^2costheta f(rcostheta, rsintheta) cdot r,dr,dtheta :
E em coordenadas polares:

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